Question

已知拋物線C₁：y²=4x的焦點與橢圓C₂：

x2

9

+

y2

b

=1的右焦點F₂重合，F₁是橢圓的左焦點．
（1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），點C在拋物線y²=4x上運動，求△ABC重心G的軌跡方程；
（2）若P是拋物線C₁與橢圓C₂的一個公共點，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值及△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設重心G（x，y），C（x′，y′）．則

x′=3x+4 y′=3y+3.

（*）．將（*）代入y²=4x中，得(y+1)2=

4

3

(x+

4

3

)．由此可知△ABC重心的軌跡方程為(y+1)2=

4

3

(x+

4

3

)．
（2）由y²=4x得F₂（1，0），所以橢圓方程為

x2

9

+

y2

8

=1．設P（x₁，y₁），由題意得2x₁²+9x₁-18=0，解得x1=

3

2

，x1=-6（舍）．設點P到拋物線y²=4x準線的距離為PN，則|PF₂|=|PN|．由此能夠推導出S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|PP1|=

6

．

解答：解：（1）設重心G（x，y），C（x′，y′）．
則

x= x′-4+0 3 y= y′+0-3 3 .

整理得

x′=3x+4 y′=3y+3.

（*）
將（*）代入y²=4x中，得(y+1)2=

4

3

(x+

4

3

)．
所以，△ABC重心的軌跡方程為(y+1)2=

4

3

(x+

4

3

)．（5分）
（2）∵橢圓與拋物線有共同的焦點，由y²=4x得F₂（1，0），
∴b=8，橢圓方程為

x2

9

+

y2

8

=1．
設P（x₁，y₁），由

x 2 1 9 + y 2 1 8 =1 y 2 1 =4x1.

得2x₁²+9x₁-18=0，
∴x1=

3

2

，x1=-6（舍）．
∵x=-1是y²=4x的準線，即拋物線的準線過橢圓的另一個焦點F₁．
設點P到拋物線y²=4x準線的距離為PN，則|PF₂|=|PN|．
又|PN|=x1+1=

3

2

+1=

5

2

，
∴|PF2|=

5

2

，|PF1|=2a-|PF2|=

7

2

．
過點P作PP₁⊥x軸，垂足為P₁，
在Rt△PP₁F₁中，cosα=

5

7

，
在Rt△PP₁F₂中，cos(π-β)=

1

5

，cosβ=-

1

5

，
∴cosα•cosβ=-

1

7

，
∵x1=

3

2

，∴|PP1|=

6

．
∴S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|PP1|=

6

．（13分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．