Question

（2012•河北模擬）已知拋物線C₁：y²=2px和圓C2：(x-

p

2

)2+y2=

p2

4

，其中p＞0，直線l經過C₁的焦點，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四點，則

AB

•

CD

的值為

p2

4

．

Answer 1

分析：法一：利用特殊位置法解決，當直線l垂直x軸時就可得結果．
法二：設拋物線的焦點為F，則|AB|=|AF|-|BF=x₁+

p

2

-

p

2

=x₁，同理|CD|=x₂，由此能夠求出

AB

•

CD

的值．

解答：解：法一：當直線l垂直于x軸時，
|AB|=|CD|=p-

p

2

=

p

2

，

AB

•

CD

=

p2

4

法二：設拋物線的焦點為F，
則|AB|=|AF|-|BF=x₁+

p

2

-

p

2

=x₁，
同理|CD|=x₂，
又

AB

•

CD

=|AB||CD|=x₁x₂=

p2

4

．
故答案為：

p2

4

．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用、平面向量數量積的運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．