Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）求證：{a_n-n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n；
（3）證明：對任意n∈N^*，S_n+1≤4S_n．

Answer 1

分析：（1）整理題設a_n+1=4a_n-3n+1得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），進而可推斷數列{a_n-n}是等比數列．
（2）由（Ⅰ）可數列{a_n-n}的通項公式，進而可得{a_n}的通項公式根據等比和等差數列的求和公式，求得S_n．
（3）把（Ⅱ）中求得的S_n代入S_n+1-4S_n整理后根據-

1

2

（3n²+n-4）≤0證明原式．

解答：解：（1）證明：由題設a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，所以數列{a_n-n}是首項為1，且公比為4的等比數列．
（2）由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，于是數列{a_n}的通項公式為a_n=4^n-1+n．
所以數列{a_n}的前n項和S_n=

1-4n

1-4

+

n(n+1)

2

=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

．
（3）證明：對任意的n∈N^*，S_n+1-S_n=

4n+1-1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-4[

4n-1

3

+

n(n+1)

2

]=-

1

2

（3n²+n-4）≤0，
所以不等式S_n+1≤4S_n，對任意n∈N^*皆成立．

點評：本題以數列的遞推關系式為載體，主要考查等比數列的概念、等比數列的通項公式及前n項和公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力．