Question

已知點P為橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上且位于在第三象限內一點，且它與兩焦點連線互相垂直，若點P到直線4x-3y-2m+1=0的距離不大于3，則實數m的取值范圍是______．

Answer 1

設p（x，y），
∵橢圓

x2

45

+

y2

20

=1，∴c=5，兩焦點F₁=（-5，0），F₂=（5，0），
∵P與兩焦點連線互相垂直，
∴kPF1•kPF2=

y

x+5

•

y

x-5

=-1．
∴x²+y²=25，
又∵P為橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上且位于在第三象限內一點，
∴解出x=-3，y=-4，∴p（-3，-4）
又∵P到直線4x-3y-2m+1=0的距離不大于3，
∴根據點到直線距離的公式有：

|4×(-3)+(-3)×(-4)-2m+1

42+(-3)2

≤3
整理實數m的取值范圍是，得|2m-1|≤15，
解得-7≤m≤8，
∴實數m的取值范圍是[-7，8]．
故答案為：[-7，8]．