Question

（2013•淄博一模）若函數f（x）=

x+1，-1≤x＜0 cosx，0≤x＜ π 2

的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為a，則(x-

a

x2

)⁶ 的展開式中各項系數和為

1

64

（用數字作答）．

Answer 1

分析：求解定積分得到a的值，把a的值代入二項式后，取x=1即可得到(x-

a

x2

)⁶ 的展開式中各項系數和．

解答：解：函數f（x）=

x+1，-1≤x＜0 cosx，0≤x＜ π 2

的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為a，
如圖，

∴a=

1

2

×1×1+

∫

π 2 0

cosxdx=

1

2

+sinx

|

π 2 0

=

1

2

+1=

3

2

．
∴(x-

a

x2

)⁶=(x-

3

2x2

)6，
取x=1，得(x-

3

2x2

)6=(1-

3

2

)6=

1

64

．
故答案為：

1

64

．

點評：本題考查了定積分，考查了二項式系數的性質，體現了數學轉化思想方法，屬中檔題．