Question

曲線y=x²與直線y=x所圍成的平面圖形繞x軸轉一周得到旋轉體的體積為（　　）

• A．

  1

  30

  π
• B．

  1

  15

  π
• C．

  2

  15

  π
• D．

  1

  6

  π

Answer 1

分析：求出曲線y=x²與直線y=x交點O、A的坐標，結合旋轉體的積分計算公式，可得所求旋轉體的體積等于函數y=π（x²-x⁴）在[0，1]上的積分值，再用定積分計算公式加以計算即可得到該旋轉體的體積．

解答：解：∴曲線y=x²與直線y=x交于點O（0，0）和A（1，0）
∴根據旋轉體的積分計算公式，可得
該旋轉體的體積為V=

∫

1 0

π（x²-x⁴）dx=π（

1

3

x³-

1

5

x⁵）

|

1 0

=π[（

1

3

×1³-

1

5

×1⁵）-（

1

3

×0³-

1

5

×0⁵）]=

2

15

π
故選：C

點評：本題給出曲線y=x²與直線y=x所圍成的平面圖形，求該圖形繞x軸轉一周得到旋轉體的體積．著重考查了利用定積分公式計算由曲邊圖形旋轉而成的幾何體體積的知識，屬于基礎題．