Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，點， 分別是棱， 上的點，且．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】（1）先運用面面垂直的性質定理證明平面，再運用面面垂直的判定定理進行分析推證平面 平面；（2）建立空間直角坐標系，借助空間向量的坐標形式的運算及空間向量的數量積公式求兩個半平面的法向量，再運用向量的數量積公式進行求解：

（Ⅰ）證明：取線段的中點，取線段的中點，連接， ， ，則，

又，

∴是平行四邊形，故．

∵，平面平面，平面平面 ，

∴平面，而，

∴平面，

∵平面，

∴平面 平面．

（Ⅱ）以、、為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，則， ， ， ， ， ， ，

設平面的一個法向量，

則有即

令，則，

設平面的一個法向量，

則有即

令，則，

設二面角的平面角，

則．