Question

已知雙曲線C₁以點A（0，1）為頂點，且過點B(-

3

，2)．
（1）求雙曲線C₁的標準方程；
（2）求離心率為

2

2

，且以雙曲線C₁的焦距為短軸長的橢圓的標準方程；
（3）已知點P在以點A為焦點、坐標原點為頂點的拋物線C₂上運動，點M的坐標為（2，3），求PM+PA的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）雙曲線C₁的一個頂點的坐標是（0，1），可確定雙曲線的焦點在y軸上，又由過點B(-

3

，2)，從而可求雙曲線的標準方程；
（2）由于橢圓以雙曲線C₁的焦距為短軸長，可得到橢圓的短半軸長，再由橢圓的離心率即可得到長半軸長，進而得到橢圓的標準方程；
（3）利用拋物線的定義，將點到焦點距離轉化為到準線的距離，利用三點共線，即可得到結論．

解答：解：（1）由于雙曲線C₁以點A（0，1）為頂點，
則雙曲線的實半軸為1，方程可設為

y2

1

-

x2

b 2 1

=1(b1＞0)
將(-

3

，2)代入，得

b

2 1

=1
雙曲線標準方程為：y²-x²=1；
（2）由（1）知，

c

2 1

=2，∴b=

2

，∴b²=2
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，∴a²=4
∴橢圓標準方程為：

x2

4

+

y2

2

=1或  

y2

4

+

x2

2

=1；
（3）依題意，拋物線標準方程為：x²=4y
設點P到準線y=-1的垂線段為PH，則PA=PH
∴（PM+PA）_min=（PM+PH）_min=4
此時，P（2，1）

點評：本題考查雙曲線，橢圓，拋物線的標準方程，考查圓錐線的定義與性質，考查軌跡方程的求解，定位定量是關鍵．