Question

（2013•長寧區一模）已知二次函數f（x）=ax²+|a-1|x+a．
（1）函數f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）關于x不等式

f(x)

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）函數g（x）=f（x）+

1-(a-1)x2

x

在（2，3）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分a＞0，a＜0兩種情況求出二次函數f（x）的增區間，使（-∞，-1）為增區間的子集即可；
（2）

f(x)

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立，等價于在[1，2]上

f(x)

x

的最小值大于等于2，利用導數即可求得其最小值；
（3）設2＜x₁＜x₂＜3，則g（x₁）＜g（x₂）恒成立，分離出參數a后轉化為求函數最值即可解決；

解答：解：顯然a≠0（1）若a＞0，f（x）的增區間為-

|a-1|

2a

，+∞），而函數f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，不符合題意；
若a＜0，則f（x）=ax²+（1-a）x+a，其增區間為（-∞，-

1-a

2a

）．
又f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，所以有-

1-a

2a

≥-1，解得a≤

1

3

，
故a＜0，所以實數a的取值范圍為：a＜0．
（2）

f(x)

x

≥2即ax+

a

x

+|a-1|≥2，令g（x）=ax+

a

x

+|a-1|，
則

f(x)

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立，等價于g_min（x）≥2，
g′（x）=a-

a

x2

=

a(x+1)(x-1)

x2

，
①當a＞0時，x∈[1，2]，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上遞增，
g_min（x）=g（1）=2a+|a-1|≥2，解得a≥1；
②當a＜0時，g′（x）≤0，此時g（x）在[1，2]上遞減，
g_min（x）=g（2）=2a+

a

2

+|a-1|=

3

2

a+1≥2，解得a≥

2

3

，（舍）
綜上，實數a的取值范圍為a≥1．
（3）g（x）=ax²+

1

x

+a在（2，3）上是增函數，
設2＜x₁＜x₂＜3，則g（x₁）＜g（x₂），
ax12+

1

x1

+a＜ax22+

1

x2

+a，a（x₁+x₂）（x₁-x₂）＜

x1-x2

x1x2

，
因為2＜x₁＜x₂＜3，所以a＞

1

x1x2(x1+x2)

，
而

1

x1x2(x1+x2)

∈（

1

54

，

1

16

），
所以a≥

1

16

．

點評：本題考查二次函數的單調性及函數恒成立問題，考查分類討論思想，考查學生靈活運用所學知識分析解決問題的能力，屬中檔題．