Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2＋y2－12x＋32＝0的圓心為Q，過點P(0,2)且斜率為k的直線l與圓Q相交于不同的兩點A，B.

(1)求圓Q的面積；

(2)求k的取值范圍；

(3)是否存在常數k，使得向量＋與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

(1)4π. (2) (3)沒有符合題意的常數k

【解析】(1)圓的方程可化為(x－6)2＋y2＝4，可得圓心為Q(6，0)，半徑為2，故圓的面積為4π.

(2)設直線l的方程為y＝kx＋2.直線l與圓(x－6)2＋y2＝4交于兩個不同的點A，B等價于＜2，化簡得(－8k2－6k)＞0，解得－＜k＜0，即k的取值范圍為.

(3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由

得(k2＋1)x2＋4(k－3)x＋36＝0，

解此方程得x1,2＝.

則x1＋x2＝－，①

又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.②

而P(0,2)，Q(6,0)，＝(6，－2)．

所以＋與共線等價于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，將①②代入上式，解得k＝－.由(2)知k∈，故沒有符合題意的常數k