Question

【題目】將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個矩形（B，C全等），用來制成一個柱體．現有兩種方案：

方案①：以為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面；

方案②：以為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個正方形（各邊分別與或垂直）作為正四棱柱的兩個底面．

（1）設B，C都是正方形，且其內切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；

（2）設的長為dm，則當為多少時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）設所得圓柱的半徑為，根據矩形薄鐵皮的面積為100，即可求得的值；（2）設所得正四棱柱的底面邊長為 ，根據題意得.方法一：表示出正四棱柱的體積，構造函數，求得單調性，即可求得函數的最大值，從而得體積最大值及的值；方法二：表示出的范圍，從而得到的范圍，再表示出正四棱柱的體積，即可求得最大值及的值.

試題解析：（1）設所得圓柱的半徑為，則，

解得．

（2）設所得正四棱柱的底面邊長為dm，則即

方法一：

所得正四棱柱的體積

記函數則在上單調遞增，在上單調遞減.

∴當時， ．

∴當， 時， dm3．

方法二：

，從而．

所得正四棱柱的體積．

∴當， 時， dm3．

答：（1）圓柱的底面半徑為dm；

（2）當為時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大．