Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．

（）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為．

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，,求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值點(diǎn).

試題解析：（）當(dāng)時(shí)，，，∴，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．

（）由得，

當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增，無(wú)極值，

當(dāng)時(shí)，令得或，令，得，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時(shí)取得極大值，， 在時(shí)取得極小值，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.