Question

已知函數f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（1）若函數滿足f（1）=2，且在定義域內f（x）≥bx²+2x恒成立，求實數b的取值范圍；
（2）若函數f（x）在定義域上是單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知，求得f（x）=x²+x-xlnx．將不等式f（x）≥bx²+2x轉化為1-

1

x

-

lnx

x

≥b．構造函數g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．
（2）函數f（x）在定義域上是單調函數，需f′（x）在定義域上恒非負或恒非正．考查f′（x）的取值情況，進行解答．

解答：解：（1）∵f（1）=2，∴a=1，f（x）=x²+x-xlnx．由f（x）≥bx²+2x?1-

1

x

-

lnx

x

≥b．
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g（x）在（0，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0．
（2）f′（x）=2ax-lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥

lnx

x

，
   令h（x）=

lnx

x

，當x=e時，h（x）max=

1

e

∴當a≥

1

2e

時，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此時．函數f（x）在定義域上單調遞增．
 若0＜a＜

1

2e

，g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′（x）=2a-

1

x

由g′（x）=0，得出x=

1

2a

，x∈(0，

1

2a

)，g′（x）＜0，x∈(

1

2a

，+∞)，g′（x）＞0，∴x=

1

2a

時，g（x）取得極小值也是最小值．而當0＜a＜

1

2e

時，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，f′（x）=0必有根．f（x）必有極值，在定義域上不單調．
綜上所述，a≥

1

2e

．

點評：此題考查函數單調性與導數故選的應用，考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區間，掌握函數恒成立時所取的條件，是一道綜合題．