Question

已知兩個不相等的實數a、b滿足以下關系式：a2•sinθ+a•cosθ-

π

4

=0，b2•sinθ+b•cosθ-

π

4

=0，則連接A（a²，a）、B（b²，b）兩點的直線與圓心在原點的單位圓的位置關系是（　　）

• A、相離
• B、相交
• C、相切
• D、不能確定

Answer 1

分析：根據實數a與b滿足的兩個關系式得到a與b是一個一元二次方程的兩個解，利用根與系數的關系求出a+b和ab的值，然后要判斷直線AB與單位圓的位置關系，只需求出圓心到直線的距離d與圓的半徑1比較大小即可得到位置關系，所以先利用A與B的坐標寫出直線AB的方程，然后利用點到直線的距離公式求出原點到直線AB的距離d，最后比較d與半徑1的大小即可得到位置關系．

解答：解：由題知，實數a與b為一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-

π

4

=0的兩個解，所以a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=-

π 4

sinθ

又A（a²，a）、B（b²，b），所以直線AB的方程為：y-a=

b-a

b2-a2

（x-a²），化簡得x-（a+b）y+ab=0
則單位圓的圓心（0，0）到直線AB的距離d=

|ab|

1+(a+b)2

=

| π 4 sinθ |

1+( cosθ sinθ )2

=

π

4

＜1，
所以直線AB與圓心在原點的單位圓的位置關系是相交．
故選B

點評：此題是一道綜合題，要求學生靈活運用韋達定理解決實際問題，利用運用點到直線的距離公式求值，掌握判斷直線與圓位置關系的方法．