Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓（）的左右兩個焦點分別是、，在橢圓上運動.

（1）若對有最大值為120°，求出、的關系式；

（2）若點是在橢圓上位于第一象限的點，過點作直線的垂線，過作直線的垂線，若直線、的交點在橢圓上，求點的坐標；

（3）若設，在（2）成立的條件下，試求出、兩點間距離的函數，并求出的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），的值域為．

【解析】

（1）根據橢圓定義可知，再利用余弦定理及基本不等式可得的關系式；

（2）設出點坐標，分別求出直線與直線的方程，結合在橢圓上即可求得點的坐標；

（3）把的坐標用含有的代數式表示，由兩點間的距離公式可得兩點間距離的函數，再換元由單調性求出其值域．

（1） 根據橢圓的定義可知，，，

因為

所以

，即．

（2）設，

當時，直線斜率不存在，易知與重合，不滿足題意；

當時，則直線的斜率，直線的斜率，

直線的方程，①

直線的斜率，則直線的斜率，

直線的方程，②

聯立①②，解得：，則，

由在橢圓上，的橫坐標互為相反數，縱坐標應相等，則，

，

則，又在第一象限，的坐標為；

（3）若，則，，

則，．

令，則，

，在上為增函數，

的值域為，

即的值域為．