Question

【題目】已知函數，其中，為自然對數的底數.

（1）當時，證明：對；

（2）若函數在上存在極值，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）利用導數說明函數的單調性，進而求得函數的最小值，得到要證明的結論；

（2）問題轉化為導函數在區間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導函數的單調性及值域，從而得到結論.法二：構造函數，利用函數的導數判斷函數的單調性求得函數的值域，再利用零點存在定理說明函數存在極值．

(1)當時，，于是，.

又因為，當時，且.

故當時，，即.

所以，函數為上的增函數，于是，.

因此，對，；

(2) 方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點，

①當時，為上的增函數，

注意到，，

所以，存在唯一實數，使得成立.

于是，當時，，為上的減函數；

當時，，為上的增函數；

所以為函數的極小值點；

②當時，在上成立，

所以在上單調遞增，所以在上沒有極值；

③當時，在上成立，

所以在上單調遞減，所以在上沒有極值，

綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.

方法二：由題意，函數在上存在極值，則在上存在零點.

即在上存在零點.

設，，則由單調性的性質可得為上的減函數.

即的值域為，所以，當實數時，在上存在零點.

下面證明，當時，函數在上存在極值.

事實上，當時，為上的增函數，

注意到，，所以，存在唯一實數，

使得成立.于是，當時，，為上的減函數；

當時，，為上的增函數；

即為函數的極小值點.

綜上所述，當時，函數在上存在極值.