Question

【題目】定義：若數列滿足，存在實數，對任意，都有，則稱數列有上界，是數列的一個上界，已知定理：單調遞增有上界的數列收斂（即極限存在）.

（1）數列是否存在上界？若存在，試求其所有上界中的最小值；若不存在，請說明理由；

（2）若非負數列滿足，（），求證：1是非負數列的一個上界，且數列的極限存在，并求其極限；

（3）若正項遞增數列無上界，證明：存在，當時，恒有.

Answer 1

【答案】（1）存在，1；（2）見解析，極限1；（3）見解析.

【解析】

（1）確定，得到上界的最小值.

（2）用數學歸納法證明，再證明數列單調遞增，得到極限存在，最后計算極限.

（3）假設結論不成立，取，，推出矛盾，得到證明.

（1）易知：，

數列存在上界，上界中的最小值為1

（2）非負數列，先證明

當時：成立.

假設當時成立，即

當時：

即也成立

所以恒成立，1是非負數列的一個上界，得證.

數列單調遞增

故數列的極限存在

設

（3）證明：假設，當時，恒有.

取滿足正項遞增數列無上界.

取，當時，

這與題設矛盾

假設不成立

故存在，當時，恒有.