Question

【題目】如圖所示，在直角坐標系中，點到拋物線：的準線的距離為.點是上的定點，，是上的兩動點，且線段的中點在直線上.

（1）求曲線的方程及點的坐標；

（2）記，求弦長（用表示）；并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）..（2），的最大值為1.

【解析】

（1）根據拋物線的定義，求出，即可得出拋物線的方程，便得出點的坐標；

（2）由點，得出，利用點差法求出直線的斜率，得出直線的方程為，直線方程與拋物線方程聯立，寫出韋達定理，利用弦長公式求出弦長，通過基本不等式求得的最大值.

解：（1）的準線為，

∴，∴，

∴拋物線的方程為.

又點在曲線上，∴.

故.

（2）由（1）知，點，

從而，即點，

依題意，直線的斜率存在，且不為0，

設直線的斜率為，且，，

由，得，

故，

所以直線的方程為，

即.

由，消去，

整理得，

所以，，.

從而

.

∴，

當且僅當，即時，上式等號成立，

又滿足.

∴的最大值為1.