Question

已知函數f（x）=x+

1

x

（x∈[

1

2

，3]），則函數f（x）的值域為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導數的綜合應用

分析：利用導數研究函數的單調性極值最值即可．

解答： 解：∵函數f（x）=x+

1

x

（x∈[

1

2

，3]），∴f′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

．
當f′（x）＞0時，解得1＜x≤3，此時函數f（x）單調遞增；當f′（x）＜0時，解得

1

2

≤x＜1，此時函數f（x）單調遞減．
又f′（1）=0，∴當x=1時，函數f（x）取得極小值即最小值，f（1）=2．又f(

1

2

)=

1

2

+2=

5

2

，f（3）=3+

1

3

=

10

3

．因此當x=3時，函數f（x）取得最大值

10

3

．
因此函數f（x）的值域為[2，

10

3

]．
故答案為：[2，

10

3

]．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值最值，屬于基礎題．