Question

【題目】已知圓：，動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)且與圓相切，圓心的軌跡為曲線(xiàn).

（1）求的方程；

（2）設(shè)斜率為1的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，軸交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得出圓與圓相內(nèi)切,曲線(xiàn)是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的橢圓,繼而求得軌跡方程;

（2）設(shè)：，，，則，與聯(lián)立得.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和兩點(diǎn)的距離公式可得出,由根的判別式得出的范圍,可得出實(shí)數(shù)的值.

（1）圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)在圓內(nèi)，故圓與圓相內(nèi)切.

設(shè)圓的半徑為，則，，從而.

因?yàn)?/span>，所以曲線(xiàn)是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的橢圓.

由，，得，故的方程為.

（2）設(shè)：，，，則，

，.

與聯(lián)立得.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.

所以.

由（1）得，所以.

等式可化為.

當(dāng)且時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，可以取任意實(shí)數(shù).

綜上，實(shí)數(shù)的值為.