Question

已知函數．
（1）當時，求的單調區間；
（2）若不等式有解，求實數m的取值菹圍；
（3）證明：當a=0時，．

Answer 1

（1） 參考解析；（2）；（3）參考解析

試題分析：（1）由于 ，．需求的單調區間，通過對函數求導，在討論的范圍即可得函數的單調區間．
（2）本小題可等價轉化為，求實數m的取值菹圍，使得有解，等價于小于函數，的最小值．所以對函數求導，由導函數的解析式，通過應用基本不等式，即可得到函數的單調性，從而得到最小值．即可得到結論．
（3）由于當時，．本小題解法通過構造．即兩個函數與的差，通過等價證明函數的最小值與函數的最大值的差大于2．所以對兩個函數分別研究即可得到結論．
（1） 的定義域是，當時，，所以在單調遞增；當時，由，解得．則當時． ，所以單調遞增．當時，，所以單調遞減．綜上所述：當時，在單調遞增；當時，在上單調遞增，在單調遞減．
（2）由題意：有解，即有解，因此只需有解即可，設，，因為，且時，所以，即．故在上遞減，所以故．
（3）當時，，與的公共定義域為，，設，．因為，在單調遞增． ．又設，，．當時，，單調遞增，當時，，單調遞減．所以為的極大值點，即．故．