Question

【題目】已知f（x）=（ ）2（x＞1）
（1）求f（x）的反函數(shù)及其定義域；
（2）若不等式（1﹣ ）f﹣1（x）＞a（a﹣ ）對(duì)區(qū)間x∈[ ， ]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解；∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（ ）2（x＞1），解得x= ，∴f﹣1（x）= （0＜x＜1）
（2）解；∵f﹣1（x）= （0＜x＜1），∴不等式（1﹣ ）f﹣1（x）＞a（a﹣ ）在區(qū)間x∈[ ， ]恒成立 在區(qū)間x∈[ ， ]恒成立，

對(duì)區(qū)間x∈[ ， ]恒成立．

當(dāng)a=﹣1時(shí)，不成立，

當(dāng)a＞﹣1時(shí)，a＜ 在區(qū)間x∈[ ， ]恒成立，a＜（ ）min，﹣1＜a＜ ．

當(dāng)a＜﹣1時(shí)，a＞ 在區(qū)間x∈[ ， ]恒成立，a＞（ ）max，a無(wú)解．

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍：﹣1＜a＜

【解析】（1）求出f（x）的值域，即f﹣1（x）的定義域，令y=（ ）2 ， 解得x= ，可得f﹣1（x）．（2）不等式（1﹣ ）f﹣1（x）＞a（a﹣ ）在區(qū)間x∈[ ， ]恒成立 在區(qū)間x∈[ ， ]恒成立， 對(duì)區(qū)間x∈[ ， ]恒成立．