Question

已知p≠0，數列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=pa_n+1-p（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=2-q^n-1（n∈N^*），當n≥2時，p，q都在區間（0，1）內變化，且滿足p^2n-2+q^2n-2≤1時，求所有點（a_n，b_n）所構成圖形的面積；
（3）當p＞1時，證明：

n

p

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n+1

p

（n∈N^*）

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）先證明{a_n-1}是以2為首項，p為公比的等比數列，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定對滿足題設的所有點（a_n，b_n）在區域Ω：

1＜x＜2 1＜y＜2 (x-1)2+(y+1)2≤1

內，即可求所有點（a_n，b_n）所構成圖形的面積；
（3）利用放縮法進行證明即可．

解答： （1）解：∵a_n+1=pa_n+1-p（n∈N^*）
∴a_n+1-1=p（a_n-1）（n∈N^*）                            …（2分）
∴{a_n-1}是以2為首項，p為公比的等比數列
因此a_n-1=p^n-1，即a_n=1+p^n-1                    …（4分）
（2）解：∵當n≥2時，a_n=1+p^n-1，b_n=2-q^n-1，
由p，q都在區間（0，1）內變化，得1＜a_n＜2，1＜b_n＜2       …（6分）
∵p^2n-2+q^2n-2≤1，
∴（a_n-1）²+（b_n+1）²≤1
即對滿足題設的所有點（a_n，b_n）在區域Ω：

1＜x＜2 1＜y＜2 (x-1)2+(y+1)2≤1

內…（8分）
而對區域Ω內的任一點（x，y），
取p=

n-1	x-1

，q=

n-1	2-y

，
則a_n=1+p^n-1，b_n=2-q^n-1，即?p，q∈（0，1），使得?（x，y）∈Ω，（x，y）都是（a_n，b_n）中的點
綜上可知，點（a_n，b_n）構成的圖形是如圖所示的

1

4

圓，其面積為

π

4

  …（10分）
（3）證明：∵

ak

ak+1

=

1+pk-1

1+pk

＞

1

p

∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

p

                                 …（12分）
∵

ak

ak+1

=

1+pk-1

1+pk

＜

1

p

+

p-1

p

•

1

pk

   …（14分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

p

+

p-1

p

（

1

p

+

1

p2

+…

1

pn

）＜

n+1

p

∴

n

p

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n+1

p

                  …（16分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，有難度．