Question

已知函數f（x）=

1

2

ax²+（1-a）x-lnx（a＞-1）；
（I）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，求實數a的范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（I）由函數的解析式求出函數的定義域，再利用導數的符號求出函數的單調區間．
（Ⅱ）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，等價于f（x）_min＜0．分當a≥0時和當-l＜a＜0時，兩種情況，分別求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（I）函數定義域為（0，+∞），f′(x)=ax+1-a-

1

x

=

(ax+1)(x-1)

x

，
當a≥0時，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+

故f（x）在（0，1）上遞減，（1，+∞）上遞增．
當-1＜a＜0時，f′(x)=

(ax+1)(x-1)

x

=

-a

x

(x+

1

a

)(x-1)，

x	（0，1）	1	(1，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，+∞)
f′（x）	-	0	-	0	-

即f（x）在（0，1），(-

1

a

，+∞)遞減，在(1，-

1

a

)上遞增．
（Ⅱ）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＜0，等價于f（x）_min＜0．
當a≥0時，f(x)min=f(1)=

a

2

+1-a＜0⇒a＞2，
當-l＜a＜0時，當x→+∞時，

1

2

ax2+(1-a)x→-∞，-lnx→-∞，
則f（x）→-∞，顯然存在x₀，使f（x₀）＜0，
綜上，a∈（-1，0）∪（2，+∞）．

點評：本題主要考查二次函數的性質，利用導數研究函數的單調性，求函數的極值，屬于基礎題．