Question

【題目】已知平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為（3， ）．曲線C的參數方程為ρ=2cos（θ﹣ ）（θ為參數）．
（Ⅰ）寫出點P的直角坐標及曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若Q為曲線C上的動點，求PQ的中點M到直線l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的距離的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由P點的極坐標為（3， ），∴xP=3 = ，yP=3 = ， ∴點P的直角坐標為 ．
曲線C的參數方程為ρ=2cos（θ﹣ ）（θ為參數），展開可得：ρ2= （ρcosθ+ρsinθ），
∴x2+y2= x+ y，
配方為： + =1．
（Ⅱ）直線l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的直角坐標方程為：：2x+4y= ．
設Q ，則M ，
則點M到直線l的距離d= = = ，當且僅當sin（θ+φ）=﹣1時取等號．
∴點M到直線l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的距離的最小值是
【解析】（Ⅰ）由P點的極坐標為（3， ），利用 可得點P的直角坐標．曲線C的參數方程為ρ=2cos（θ﹣ ）（θ為參數），展開可得：ρ2= （ρcosθ+ρsinθ），利用 及其ρ2=x2+y2即可得出直角坐標方程．（Ⅱ）直線l：2ρcosθ+4ρsinθ= 的直角坐標方程為：：2x+4y= ．設Q ，則M ，利用點到直線的距離公式與三角函數的單調性值域即可得出．