Question

【題目】已知指數函數y＝g(x)滿足：g(3)＝8，定義域為R的函數f(x)＝是奇函數．

(1)確定y＝f(x)和y＝g(x)的解析式；

(2)判斷函數f(x)的單調性，并用定義證明；

(3)若對于任意x∈[－5，－1]，都有f(1－x)＋f(1－2x)＞0成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝，g(x)＝2x；（2）見解析；（3）[2,3].

【解析】

（1）由題意可設，代入條件可得函數解析式，從而得f(x)；

（2）任取x1，x2∈R，x1<x2，化簡f(x1)－f(x2)與0比較大小即可得單調性；

（3）由函數為奇函數可得f(1－x)>f(2x－1)，，結合單調性和定義域可得，從而得解.

(1)設，

∵g(3)＝a3＝8，∴a＝2，∴g(x)＝2x，

∴f(x)＝，

∵f(x)是奇函數，∴f(－1)＋f(1)＝0，即，解得m＝2.

經檢驗，當m＝2時，f(x)＝為奇函數，

∴f(x)＝;

(2)任取x1，x2∈R，x1<x2，

則f(x1)－f(x2)＝＝.

∵x1<x2，

∴2x2－2x1>0，

又∵1＋2x1>0，1＋2x2>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，

∴f(x1)>f(x2)，

∴f(x)是定義在R上的減函數；

(3)∵f(1－x)＋f(1－2x)>0，且f(x)為奇函數，

∴f(1－x)>f(2x－1)，

∴，

解得2≤x≤3，

∴x的取值范圍是[2,3].