Question

【題目】如果函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間上的值域恰為，則稱函數(shù)為上的等域函數(shù)，稱為函數(shù)的一個(gè)等域區(qū)間．

（1）若函數(shù)，，則函數(shù)存在等域區(qū)間嗎？若存在，試寫出其一個(gè)等域區(qū)間，若不存在，說(shuō)明理由

（2）已知函數(shù)，其中且，，．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是上的等域函數(shù)，求的解析式；

（ⅱ）證明：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)不存在等域區(qū)間．

Answer 1

【答案】（1）；見(jiàn)解析（2）（ⅰ）（ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意，分析等域區(qū)間定義，寫出函數(shù)的等域區(qū)間；

（2）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)單調(diào)性，分類討論等域區(qū)間，即可求解；

（ⅱ）由題意，根據(jù)，，判斷函數(shù)為減函數(shù)，再由反證法，假設(shè)函數(shù)存在等域區(qū)間，推導(dǎo)出矛盾，即可證明不存在等域區(qū)間.

解：（1）函數(shù)存在等域區(qū)間，如；

（2）已知函數(shù)，其中且，，D

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，

若函數(shù)是上的等域函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

則得，此時(shí)．

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，

則，得，不滿足條件．

即．

（ⅱ）證明：當(dāng)，時(shí)，，即，

則為減函數(shù)，

假設(shè)函數(shù)存在等域區(qū)間，

則，

兩式作差，

即，

，，，，，

則，

等式不成立，即函數(shù)不存在等域區(qū)間．