Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的漸近線都與圓C：x²+y²-10x+9=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程是（　　）

• A．

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• B．

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• C．

  x2

  10

  -

  y2

  15

  =1
• D．

  x2

  15

  -

  y2

  10

  =1

Answer 1

分析：求出圓C的圓心和半徑，可得雙曲線的一個焦點為C（5，0），a²+b²=25．再根據漸近線都與圓C相切，
可得

|5b±0|

a2+b2

=4，由此求得得 b² 和 a²的值，可得雙曲線的方程．

解答：解：圓C：x²+y²-10x+9=0 即 （x-5）²+y²=16，表示以C（5，0）為圓心，半徑等于4的圓．
故雙曲線的一個焦點為C（5，0），∴a²+b²=25．
再由

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0) 的漸近線為 y=±

b

a

x，即 bx±ay=0，
而且漸近線都與圓C：x²+y²-10x+9=0相切，可得

|5b±0|

a2+b2

=4．
解得 b²=16，a²=9，故雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1．
故選B．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用以及雙曲線的簡單性質，屬于中檔題．