Question

“我們稱使f(x)＝0的x為函數(shù)y＝f(x)的零點．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的、單調(diào)的函數(shù)，且滿足f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上有唯一的零點”．對于函數(shù)f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1.

(1)討論函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性，并求出函數(shù)極值；

(2)證明連續(xù)函數(shù)f(x)在[2，＋∞)內(nèi)只有一個零點．

Answer 1

解析　(1)f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1的定義域為(－1，＋∞)，

且f′(x)＝－2x＋2＝，f′(x)＝0⇒x＝2(－2舍去)．

 

x	(－1,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－
f(x)		極大值	

由表可知，f(x)在區(qū)間(－1,2]上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上單調(diào)遞減．

∴當(dāng)x＝2時，f(x)的極大值為f(2)＝6ln3－1.

(2)證明：由(1)知f(2)＝6ln3－1>0，f(x)在[2,7]上單調(diào)遞減．

又f(7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0，

∴f(2)·f(7)<0.

∴f(x)在[2,7]上有唯一零點．

當(dāng)x∈[7，＋∞)時，f(x)≤f(7)<0.

故x∈[7，＋∞)時，f(x)不為零．

∴y＝f(x)在[7，＋∞)上無零點．

∴函數(shù)f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1在定義域內(nèi)只有一個零點．