Question

如圖，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF

∥

.

2CE，G是線段BF上一點，AB=AF=BC=2．
（Ⅰ）當GB=GF時，求證：EG∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-BF-A的余弦值；
（Ⅲ）是否存在點G滿足BF⊥平面AEG？并說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）當GB=GF時，根據線面平行的判定定理即可證明EG∥平面ABC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求二面角E-BF-A的余弦值；
（Ⅲ）根據線面垂直的判定定理和性質定理，建立條件關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中點D，連接GD，CD，
又GB=GF，所以AF

∥ .

.

2GD．
因為AF

∥ .

.

2CE，所以GD

∥ .

.

CE，四邊形GDCE是平行四邊形，
所以CD∥EG
因為EG?平面ABC，CD?平面ABC
所以EG∥平面ABC．
（Ⅱ）因為平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，
且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB，AF⊥BC
因為BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．
如圖，以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz．
則F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），

BC

=(0，2，0)是平面ABF的一個法向量．
設平面BEF的法向量n=（x，y，z），則

n• BE =0 n• BF =0

，即

2y+z=0 -2x+2z=0

令y=1，則z=-2，x=-2，所以n=（-2，1，-2），所以cos＜n，

BC

＞=

n• BC

|n|| BC |

=

1

3

，
由題知二面角E-BF-A為鈍角，所以二面角E-BF-A的余弦值為-

1

3

．
（Ⅲ）因為

BF

•

AE

=(-2，0，2)(2，2，1)=-2≠0，所以BF與AE不垂直，
所以不存在點G滿足BF⊥平面AEG．

點評：本題主要考查線面平行的判定以及空間二面角的計算，建立空間直角坐標系，利用向量法是解決本題的關鍵．