Question

袋子里有大小相同的3個紅球和4個黑球，今從袋子里隨機取球．
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1個球，求取出1個紅球2個黑球的概率；
（Ⅱ）若無放回地取3次，每次取1個球，
①求在前2次都取出紅球的條件下，第3次取出黑球的概率；
②求取出的紅球數X 的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“取出1個紅球2個黑球”為事件A，根據題意可得其發生的概率，進而得到答案． 
（Ⅱ）①記“在前2次都取出紅球”為事件B，“第3次取出黑球”為事件C，分別求出其發生的概率，再結合條件概率的公式求出答案．
②隨機變量X 的所有取值為0，1，2，3．根據題意分別求出其發生的概率，即可得到X的分布列進而求出X的期望．

解答：解：（Ⅰ）記“取出1個紅球2個黑球”為事件A，
根據題意有P(A)=

C

1 3

(

3

7

)×(

4

7

)2=

144

343

；
 所以取出1個紅球2個黑球的概率是

144

343

．
（Ⅱ）①記“在前2次都取出紅球”為事件B，“第3次取出黑球”為事件C，
則P(B)=

3×2

7×6

=

1

7

，P(BC)=

3×2×4

7×6×5

=

4

35

，
所以P(C|B)=

P(BC)

P(B)

=

4 35

1 7

=

4

5

．
所以在前2次都取出紅球的條件下，第3次取出黑球的概率是

4

5

．
②隨機變量X 的所有取值為0，1，2，3．
P(X=0)=

C 3 4 • A 3 3

A 3 7

=

4

35

，P(X=1)=

C 2 4 C 1 3 • A 3 3

A 3 7

=

18

35

，
P(X=2)=

C 1 4 C 2 3 • A 3 3

A 3 7

=

12

35

，P(X=3)=

C 3 3 • A 3 3

A 3 7

=

1

35

．
所以X的分布列為：

所以EX=0×

4

35

+1×

18

35

+2×

12

35

+3×

1

35

=

45

35

=

9

7

．

點評：解決此類問題的關鍵是首先讓學生清楚有放回與無放回這兩種模型的區別，應該清楚每種情況對應的基本事件空間是誰，同時要弄清楚序的問題，一個總的問題：分子和分母同時有序或無序．還要注意條件概率問題中的相關定義，誰是條件．