Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，

（1）證明：BC1⊥面A1B1CD；
（2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接B1C交BC1于點O，連接A1O．

在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中

因為A1B1⊥平面BCC1B1．

所以A1B1⊥BC1．

又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O

∴BC1⊥平面A1B1CD

（2）解：因為BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內的射影，所以∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．設正方體的棱長為a

在RT△A1BO中，A1B= a，BO= a，所以BO= A1B，∠BA1O=30°，

即直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°

【解析】（1）要證BC1⊥面A1B1CD；應通過證明A1B1⊥BC1 ． BC1⊥B1C兩個關系來實現，兩關系容易證明．（2）因為BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內的射影，所以∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．在RT△A1BO中求解即可．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．