Question

已知點在橢圓:上，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的右焦點，且，其中為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點，設是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若, 求直線的方程;

（3）作直線與橢圓:交于不同的兩點,,其中點的坐標為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）. (2) 或； （3）或.

【解析】

試題分析：（1）由題意知,在中, 可得.

設為圓的半徑,為橢圓的半焦距

由建立方程組，,解得:.

根據點在橢圓上,有結合,解得.

(2)由題意知直線的斜率存在,故設直線方程為

設,利用 ,求得代人橢圓方程求 .

（3）根據: , 設.

根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

由韋達定理得,則,

所以線段的中點坐標為

注意討論，的情況，確定的表達式，求得實數的值.

方法比較明確，運算繁瑣些；分類討論是易錯之處.

試題解析：（1）由題意知,在中,

由得:

設為圓的半徑,為橢圓的半焦距

因為所以

又,解得:,則點的坐標為 2分

因為點在橢圓：上,所以有

又,解得:

所求橢圓的方程為. 4分

(2)由(1)知橢圓的方程為

由題意知直線的斜率存在,故設其斜率為,

則其方程為

設,由于,所以有

7分

又是橢圓上的一點,則

解得

所以直線的方程為或 9分

（3）由題意知: :

由, 設

根據題意可知直線的斜率存在，可設直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

由韋達定理得,則,

所以線段的中點坐標為

(1)當時, 則有,線段垂直平分線為軸

于是

由,解得: 11分

(2) 當時, 則線段垂直平分線的方程為

因為點是線段垂直平分線的一點

令,得:

于是

由,解得:

代入,解得:

綜上, 滿足條件的實數的值為或. 14分

考點：橢圓的定義，橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的坐標運算.