Question

函數(shù) ．

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求證：；（4分）

(Ⅱ) 在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍。（4分）

(Ⅲ) 當(dāng)時(shí)，求證：）．（4分）

 

Answer 1

【答案】

（I）見(jiàn)解析（II）. （III）見(jiàn)解析

【解析】（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性，進(jìn)一步得到不等關(guān)系；（Ⅱ）把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)法求解；（Ⅲ）利用放縮法證明不等式

（I）證明:設(shè)

則,則,即在處取到最小值,

    則,即原結(jié)論成立.

（II）解:由得 即,另,

      另,則單調(diào)遞增,所以

      因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821110777879046/SYS201207182111524506709988_DA.files/image016.png">,所以,即單調(diào)遞增,則的最大值為

      所以的取值范圍為.

（III）證明:由第一問(wèn)得知則

      則