Question

已知在平面直角坐標系xoy中，圓C經過函數f（x）=

1

3

x³+x²-3x-9（x∈R）的圖象與兩坐標軸的交點，C為圓心．
（1）求圓C的方程；
（2）在直線l：2x+y+19=0上有一個動點P，過點P作圓C的兩條切線，設切點分別為M，N，
求四邊形PMCN面積的最小值及取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）解三次方程，得x₁=-3，x₂=3．令x=0得f（0）=-9．由此得到函數圖象三個交點分別是（3，0），（-3，0），（0，-9），再由圓方程的一般式解方程組，即可得到圓C的方程；
（2）根據圓的對稱性和三角形面積公式，可得S_PMCN=5PM，因此要求面積最小值即求PM的最小值．由點到直線的距離公式和勾股定理加以計算即可得到當P（-6，-7）時，四邊形PMCN面積的最小值是10

5

．

解答：解：（1）由（x）=

1

3

x³+x²-3x-9=0，得

1

3

（x+3）²（x-3）=0
解之得x₁=-3，x₂=3．
再由x=0，得f（0）=-9
∴函數圖象與兩坐標軸有三個交點分別是（3，0），（-3，0），（0，-9）---（3分）
設經過該三點圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
將三點坐標代入，解得：D=0，E=8，F=-9，
所以圓的方程是：x²+y²+8y-9=0，--------（8分）
（2）由題意，得：S_PMCN=5PM，因此要求面積最小值即求PM的最小值，
而PM=

PC2-r2

，
∵PC最小值為點C到直線l的距離，即PC_min=

|-4+19|

5

=3

5

，-------10
∴PM_min=

45-25

=2

5

，所以四邊形PMCN面積的最小值是10

5

．-（12分）．
此時PC的方程為x-2y-8=0，與直線l聯解可得得P（-6，-7）---（14分）．

點評：本題給出經過三點的圓，求圓的方程并求四邊形面積的最小值，著重考查了點到直線的距離公式、圓的方程和面積最值的求法等知識，屬于中檔題．