Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A(1，

1

2

)．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過(guò)原點(diǎn)O并且交橢圓于點(diǎn)B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由左焦點(diǎn)為 F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），得到橢圓的半長(zhǎng)軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上求得方程．
（II）由于線段PA中點(diǎn)M隨著P的變動(dòng)而變動(dòng)，故只需求出兩動(dòng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系，利用P再橢圓上即可求得線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程
（Ⅲ）當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為2，因此△ABC的面積S_△ABC=1滿足l的條件．當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx（k∈R），代入

x2

4

+y2=1，求得B，C的坐標(biāo)，從而求得BC長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公司可求點(diǎn)A到直線BC的距離，從而可求△ABC的面積，進(jìn)而可求k及直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2，半焦距c=

3

，則半短軸b=1，…（1分）
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．…（2分）
（Ⅱ）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），由x=

x0+1

2

，y=

y0+ 1 2

2

得x₀=2x-1，且y0=2y-

1

2

．…（4分）
由點(diǎn)P在橢圓上，得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．…（6分）
（Ⅲ）當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為2，因此△ABC的面積S_△ABC=1滿足l的條件．當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx（k∈R），代入

x2

4

+y2=1，解得
B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），則|BC|=4

1+k2

1+4k2

．…（8分）
又點(diǎn)A到直線BC的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

，∴△ABC的面積S_△ABC=

1

2

|BC|•d=

|2k-1|

1+4k2

．…（10分）
于是S_△ABC=

4k2-4k+1 4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

=1，得

4k

4k2+1

=0，所以k=0．
∴直線l存在，其方程為x=0和y=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查代入法求軌跡方程，同時(shí)考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，代入法求軌跡方程解題的關(guān)鍵是尋找動(dòng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系．