Question

【題目】折紙是一項藝術，可以折出很多數學圖形．將一張圓形紙片放在平面直角坐標系中，圓心B（－1，0），半徑為4，圓內一點A為拋物線的焦點．若每次將紙片折起一角，使折起部分的圓弧的一點始終與點A重合，將紙展平，得到一條折痕，設折痕與線段B的交點為P．

（Ⅰ）將紙片展平后，求點P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知過點A的直線l與軌跡C交于R，S兩點，當l無論如何變動，在AB所在直線上存在一點T，使得所在直線一定經過原點，求點T的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）軌跡C的方程為；（Ⅱ）點T的坐標為（4，0）．

【解析】

（Ⅰ）依題意知PA=P，P的軌跡是以B、A為焦點，長軸長為4，焦距為2的橢圓，由題意能求出其橢圓方程；（Ⅱ）題意等價于在AB所在直線上存在一點T，使得TS與TR所在直線關于x軸對稱,當直線l垂直于x軸時，x軸上任意一點都滿足TS與TR所在直線關于x軸對稱，當直線l不垂直于x軸時，假設存在T（t，0）滿足條件，設l的方程為y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），聯立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根與系數的關系、根的判別式、直線關于x軸對稱，結合已知條件能求出存在T（4，0），使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關于x軸對稱．

（Ⅰ）依題意：折痕所在直線m為線段的垂直平分線，∴PA=P，

∴PB+PA= PB + P=4＞2，

∴P的軌跡是以B、A為焦點，長軸長為4，焦距為2的橢圓．

∴b2=3．

∴橢圓方程為．

（Ⅱ）由題意可知：在AB所在直線上存在一點T，使得所在直線一定經過原點等價于在AB所在直線上存在一點T，使得TS與TR所在直線關于x軸對稱

當直線l垂直于x軸時，x軸上任意一點都滿足TS與TR所在直線關于x軸對稱，

當直線l不垂直于x軸時，假設存在T（t，0）滿足條件，

設l的方程為y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），

聯立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

由根與系數的關系得，①，其中△＞0，

∵TS與TR所在直線關于x軸對稱，∴=0，②

∵R，S兩點在直線y=k（x﹣1）上，

∴y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②，得：

==0，

∴2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，③

將①代入③，得==0，④

要使得④與k的取值無關，則t=4，

綜上所述，存在T（4，0），使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關于x軸對稱，即在AB所在直線上存在一點T，使得所在直線一定經過原點.