Question

（本小題滿分13分）

設函數，已知是奇函數.

（Ⅰ）求、的值;     （Ⅱ）求的單調區間與極值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）b=3;  c=0

（Ⅱ）函數g(x)的單調遞增區間是x∈(-∞,- )和(,+∞)

函數g(x)的單調遞減區間是x∈(- ,)

且：當x=-時函數g(x)取得極大值g(-)=4

當x=時函數g(x)取得極小值g()=-4

【解析】(Ⅰ)∵f(x)=x+bx+cx(xR),    ∴f=3x+2bx+c

∴g(x)=x+(b-3)x+(c-2b)x-c;由奇函數定義知:

G(-x)=-x+（b-3）x-(c-2b)x+c=-x-(b-3x)-(c-2b)x+c=-g(x)

∴b-3=-(b-3);  -(c-2b)=-(c-2b);  -c=c

解得：b=3;  c=0

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得:g(x)=x-6x, 令g=3x-6x=0

得:x=±;又由g＞0得：x∈(-∞,- )∪(,+∞)

由g＜0得：x∈(- ,)

∴函數g(x)的單調遞增區間是x∈(-∞,- )和(,+∞)

函數g(x)的單調遞減區間是x∈(- ,)

且：當x=-時函數g(x)取得極大值g(-)=4

當x=時函數g(x)取得極小值g()=-4