Question

設函數，若在點處的切線斜率為．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）設，若對定義域內的恒成立，

（ⅰ）求實數的取值范圍；

（ⅱ）對任意的，證明：．

Answer 1

解：（Ⅰ），依題意有：

（Ⅱ）恒成立．

（ⅰ）恒成立，即．　

恒成立，則．

當時，

,

則，，單調遞增，

當，，單調遞減，

則，符合題意，即恒成立．

所以，實數的取值范圍為．　

（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，實數的取值范圍為．

令，考慮函數

，

下證明，即證：，即證明

由，即證，

又，只需證，

即證，顯然成立．

即在單調遞增，，

則，得成立，

則對任意的，成立．