Question

（2013•上海）設AB是橢圓Γ的長軸，點C在Γ上，且∠CBA=

π

4

，若AB=4，BC=

2

，則Γ的兩個焦點之間的距離為

4 6

3

．

Answer 1

分析：由題意畫出圖形，設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由條件結合等腰直角三角形的邊角關系解出C的坐標，再根據點C在橢圓上求得b值，最后利用橢圓的幾何性質計算可得答案．

解答：解：如圖，設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由題意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=

π

4

，BC=

2

，∴點C的坐標為C（-1，1），
因點C在橢圓上，∴

(-1)2

4

+

12

b2

=1，
∴b²=

4

3

，
∴c²=a²-b²=4-

4

3

=

8

3

，c=

2 6

3

，
則Γ的兩個焦點之間的距離為

4 6

3

．
故答案為：

4 6

3

．

點評：本題考查橢圓的定義、解三角形，以及橢圓的簡單性質的應用．