Question

【題目】已知曲線C：y2=2x﹣4．
（1）求曲線C在點A（3， ）處的切線方程；
（2）過原點O作直線l與曲線C交于A，B兩不同點，求線段AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：y＞0時，y= ，

∴y′= ，

∴x=3時，y′= ，

∴曲線C在點A（3， ）處的切線方程為y﹣ = （x﹣3），即x﹣ y﹣1=0

（2）解：設l：y=kx，M（x，y），則

y=kx代入y2=2x﹣4，可得k2x2﹣2x+4=0，

∴△=4﹣16k2＞0，∴

設A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2= ，

∴y1+y2=

∴x= ，y= ，

∴y2=x（x＞4）．

【解析】（1）y＞0時，y= ，求導數，可得切線的斜率，從而可求曲線C在點A（3， ）處的切線方程；（2）設l：y=kx代入y2=2x﹣4，利用韋達定理，結合中點坐標公式，即可求出線段AB的中點M的軌跡方程．