Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)存在與直線平行的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，，若的最小值是，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值為.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，則有實(shí)數(shù)解，由此可得的范圍；

（2）考慮到的表達(dá)式，題意說明在上恒成立，且“＝”可取，這樣問題又可轉(zhuǎn)化為即恒成立，且可取.，即的最小值是0．，為求的零點(diǎn)，由得，再由導(dǎo)數(shù)求得的最小值是．由于題中要求的最小值，因此研究時(shí)的正負(fù)，從而得的最小值，可證得此最小值，且為0時(shí)只有一解，這樣得出結(jié)論．

（1）因?yàn)?/span>,因?yàn)楹瘮?shù)存在與直線平行的切線，所以

在上有解,即在上有解，所以，得,

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）由題意得：對(duì)任意恒成立，且可取，即恒成立，且可取.

令，即

，由得，令

.

當(dāng)時(shí)，，

在上，；

在上，.所以.

令在上遞減，所以，故方程有唯一解即,

綜上，當(dāng)滿足的最小值為，故的最小值為.