Question

【題目】和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡，在空間直角坐標系中，空間平面和曲面的方程是一個三原方程.

（1）類比平面解析幾何中直線的方程，寫出①過點，法向量為的平面的點法式方程；②平面的一般方程；③在，，軸上的截距分別為，，的平面的截距式方程.（不需要說明理由）

（2）設、為空間中的兩個定點，，我們將曲面定義為滿足的動點的軌跡，試建立一個適當的空間直角坐標系，求曲面的方程.

（3）對（2）中的曲面，指出和證明曲面的對稱性，并畫出曲面的直觀圖.

Answer 1

【答案】（1）①；②；③

（2）

（3）關于原點對稱，關于，，軸對稱，關于，，平面對稱，如圖

【解析】

(1)類比平面中直線的點斜式方程,直線的一般方程,直線的截距式方程即可.

(2)類比平面中的求軌跡方程的方法,設空間中的點,再根據題意列出方程式化簡求解即可.

(3)根據曲面方程可判斷曲面關于原點對稱,關于,,軸對稱,關于,,平面對稱再證明畫出圖像即可.

(1) 類比平面中直線的點斜式方程,直線的一般方程,直線的截距式方程可得：

①；②；③

(2) 以兩個定點的中點為坐標原點,以所在的直線為軸,以線段的垂直平分線為軸,以與平面垂直的直線為軸,建立空間直角坐標系,

則,,設,可得,.

所以.

移項得

兩邊平方,得

∴

兩邊平方得

即,兩邊同除以,設則

.

因此,可得曲面Γ的方程為.

(3)由于點關于坐標原點的對稱點也滿足Γ的方程,

說明曲面Γ關于坐標原點對稱；

由于點關于x軸的對稱點也滿足Γ的方程,

說明曲面Γ關于x軸對稱；同理,曲面Γ關于y軸對稱；關于z軸對稱.

由于點關于平面的對稱點也滿足Γ的方程,

說明曲面Γ關于平面對稱；同理,曲面Γ關于平面對稱；關于平面對稱.

由以上的討論,可得曲面Γ的直觀圖如圖所示.