Question

【題目】已知函數與的圖象關于直線對稱.

（1）不等式對任意恒成立，求實數的最大值；

（2）設在內的實根為， ，若在區間上存在，證明： .

Answer 1

【答案】（1）1（2）見解析

【解析】試題分析:（1）不等式恒成立問題，一般利用變量分離，轉化為對應函數最值問題，即的最小值，再利用導數求出函數的最小值，即得，因此實數的最大值為.（2）先根據函數與的圖象關于直線對稱，求出，再由在內的實根為，得等量關系，利用導數研究函數單調性：在上單調遞增；在上單調遞增減，因此， ， 為其極大值點，根據極點偏移方法證明：要證： ，即證： ，只要證，即證，構造函數，其中.利用導數可得 在上單調遞增，即得

試題解析：（1）由，所以，

設，∴.

由，∴， 在上單調遞增；

，∴， 在上單調遞減，所以，即，所以實數的最大值為.

（2）設為函數圖象上任意一點，

則點為函數圖象上的點，所以，所以，

當時， ， ，因而在上單調遞增；

當時， ， ，因而在上單調遞增減，

又，則， ，

顯然當時， .

要證： ，即證： ，而在上單調遞增減，

故可證，又由，即證，

即，

記，其中.

.

設,當時， ； 時， ，

故.

而，故，而，從而，

因此當，即單調遞增.

從而當時， ，即，故得證.