Question

已知函數(shù)f（x）=mx+

1

x+n

（m，n∈Z），曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=aln（x-1）（a＞0），若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3，建立方程，可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（x）=aln（x-1）+

1

x-1

，定義域?yàn)椋?，+∞），F(xiàn)′（x）=

ax-a-1

(x-1)2

，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，由此即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=m-

1

(x+n)2

，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3
∴f（2）=3，f′（2）=0
∴2m+

1

2+n

=3，m-

1

(2+n)2

=0
∴

m=1 n=-1

或

m= 9 4 n=- 8 3

，
由于m，n∈Z，所以

m=1 n=-1

，則f(x)=x+

1

x-1

．        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（x）=aln（x-1）+

1

x-1

，定義域?yàn)椋?，+∞），F(xiàn)′（x）=

ax-a-1

(x-1)2

，由于a＞0，
令F′（x）=0，得x=1+

1

a

，
當(dāng)x∈(1，1+

1

a

)時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，知F（x）在x∈(1，1+

1

a

)時(shí)單調(diào)遞減，
同理，F(xiàn)（x）在x∈(1+

1

a

，+∞)時(shí)單調(diào)遞增
所以F（x）min=F(1+

1

a

)=a-alna
令a-alna＜0，即a＞e時(shí)，函數(shù)F（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
所以a的取值范圍是（a，+∞）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)．