Question

已知雙曲線

x2

4

-y²=1的虛軸的上端點為B，過點B引直線l與雙曲線的左支有兩個不同的公共點，則直線l的斜率的取值范圍是

（

1

2

，

2

2

）

．

Answer 1

分析：雙曲線

x2

4

-y²=1的虛軸的上端點為B（0，1），由過點B引直線l與雙曲線的左支有兩個不同的公共點，知直線l的斜率k一定存在，且k＞0，設直線l的方程為：y=kx+1，由

y=kx+1 x2 4 -y2=1

，得(

1

4

-k2)x2-2kx-2=0，設直線l與雙曲線的左支交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由△＞0，x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，能求出直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：雙曲線

x2

4

-y²=1的虛軸的上端點為B（0，1），
∵過點B引直線l與雙曲線的左支有兩個不同的公共點，
∴直線l的斜率k一定存在，且k＞0，
設直線l的方程為：y=kx+1，
由

y=kx+1 x2 4 -y2=1

，得(

1

4

-k2)x2-2kx-2=0，
設直線l與雙曲線的左支交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有

△=(-2k)2+8( 1 4 -k2)＞0 x1+x2= 2k 1 4 -k2 ＜0 x1•x2 = -2 1 4 -k2 ＞0

，
解得

1

2

＜k＜

2

2

．
故答案為：（

1

2

，

2

2

）．

點評：本題考查直線和雙曲線的關系的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．