Question

已知函數f（x）=

lnx，   1≤x≤4 -2lnx，   1 4 ≤x≤1

，若函數F（x）=f（x）-kx在區間[

1

4

，4]上恰好有一個零點，則k的取值范圍為（　　）

• A、（

  1

  e

  ，16ln2]∪{0}
• B、（

  1

  e

  ，+∞）∪{0}
• C、[

  ln2

  2

  ，16ln2）∪{0}
• D、（

  ln2

  2

  ，16ln2]∪{0}

Answer 1

分析：由題意可得函數y=f（x）的圖象和直線y=kx在區間[

1

4

，4]上恰好有一個交點，數形結合求得k的范圍．

解答：解：由題意可得函數y=f（x）的圖象和直線y=kx
在區間[

1

4

，4]上恰好有一個交點，
如圖所示：顯然，當k=0時，滿足條件．
當y=kx和y=lnx相切時，設切點為A（x₀，lnx₀），
由導數的幾何意義可得

1

x0

=

lnx0-0

x0-0

，
解得x₀=e，故切線的斜率為

1

e

．
當y=kx經過點B（

1

4

，4ln2）時，k=

4ln2

1 4

=16ln2．
故k的范圍為（

1

e

，16ln2]∪{0}，
故選：A．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化以及數形結合的數學思想，屬于基礎題．