Question

已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)求f(x)在區間[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

(3)對一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)＜g′(x)＋2恒成立，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）f(x)的遞減區間是，遞增區間為（2）f(x)min＝（3）[－2，＋∞)

【解析】(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

f′(x)＝ln x＋1，

令f′(x)＜0，得0＜x＜；

令f′(x)＞0，得x＞.

∴f(x)的遞減區間是，遞增區間為.

(2)(ⅰ)當0＜t＜t＋2＜時，無解．

(ⅱ)當0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜，

由(1)知，f(x)min＝f＝－.

(ⅲ)當≤t＜t＋2，即t≥時，

f(x)在區間[t，t＋2]上遞增，f(x)min＝f(t)＝tln t.

因此f(x)min＝

(3)2f(x)＜g′(x)＋2，得2xln x≤3x2＋2ax＋1.

∵x＞0，∴a≥ln x-x-.設h(x)＝ln x-x-，

則h′(x)＝-+＝－.?

令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－ (舍)．

當0＜x＜1時，h′(x)＞0，h(x)在(0,1)上單調遞增；

當x＞1時，h′(x)＜0，h(x)在(1，＋∞)上單調遞減．

∴當x＝1時，h(x)取得最大值h(x)max＝－2.

∴a≥－2.

∴a的取值范圍是[－2，＋∞)．