Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*，λ為常數），且a₁，a₂+2，a₃成等差數列．
（1）求λ的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設數列{b_n}滿足b_n=

n2

an+3

，證明：b_n≤

9

16

．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，結合a₁，a₂+2，a₃成等差數列，即可求λ的值；
（2）由an+1=an+2n+1（n∈N^*），可得an-an-1=2n（n≥2），利用疊加法，結合等比數列的求和公式，即可求數列{a_n}的通項公式；
（3）確定數列{b_n}的通項，可得其單調性，即可證明結論．

解答：（1）解：因為a₁=1，an+1=an+λ•2n（n∈N^*），
所以a2=a1+λ•21=1+2λ，a3=a2+λ•22=1+6λ．
因為a₁，a₂+2，a₃成等差數列，
所以a₁+a₃=2（a₂+2），即2+6λ=2（3+2λ），
解得λ=2．
（2）解：由（1）得，λ=2，所以an+1=an+2n+1（n∈N^*），
所以an-an-1=2n（n≥2）．
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2²+2³+…+2ⁿ=1+

22(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ⁺¹-3．
又a₁=1也適合上式，
所以數列（-∞，a]的通項公式為an=2n+1-3（n∈N^*）．
（3）證明：由（2）得，an=2n+1-3，所以bn=

n2

2n+1

．
因為bn+1-bn=

(n+1)2

2n+2

-

n2

2n+1

=

-n2+2n+1

2n+2

=

-(n-1)2+2

2n+2

，
當n≥3時，-（n-1）²+2＜0，所以當n≥3時，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n．
又b1=

1

4

＜b2=

1

2

＜b3=

9

16

，
所以bn≤b3=

9

16

（n∈N^*）．

點評：本小題主要考查等差數列的概念，考查數列求和、單調性等基礎知識以及運算求解能力、推理論證能力等．