Question

如圖，在三棱錐中，，，°，平面平面，、分別為、中點．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的大小．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析；（3）

試題分析：（1）先證DE//BC，根據直線與平面平行的判定定理可證∥平面；（2）連結PD，則PD  AB．再證DE AB．根據直線與平面垂直的判定定理可得AB平面PDE，所以；（3）以D為原點，直線AB,DE,DP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則=(1，0， )，=(0， ， ），求出平面PBE的一個法向量，由DE平面PAB，可得平面PAB的一個法向量為．最后根據向量的夾角公式求解即可.
試題解析：解：（Ⅰ） D、E分別為AB、AC中點，
\DE//BC ．
DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，
\DE//平面PBC ．         3分
（Ⅱ）連結PD，
PA=PB，
 PD  AB．         4分
，BC  AB，
DE AB．         5分
又 ，
AB平面PDE         6分
PEÌ平面PDE，
ABPE ．        7分
（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，PD平面ABC．
8分
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系

B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0) ，
=(1，0， )，=(0， ， ）．
設平面PBE的法向量，
令
得．          9分
DE平面PAB，
平面PAB的法向量為． 10分
設二面角的大小為，
由圖知，，所以即二面角的大小為．         12分